Итак сегодня прошел еще один из завершающих этапов одной из лучших на настоящий момент моих эпох - студенчества - ГОСы.
Сегодня почувствовала себя на младший курсах. эти беззаботные гулянки. Эти прекрасные люди и разговоры. Эхххх....
Хотелось написать о нескольких вещах, совершенно не связанных между собой. просто хотела давно. а сейчас есть вдохновение и я еще немного пьяна и красноречива.
о Ветчине
ВОПРОС
Здравствуйте, Михаил Петрович! Пишет Вам студенка группы М-104 с вопросом все по той же задаче с нахождением минимума суммы. Вы нам писали, что
минимум(суммы(a(i,j)x(i)x(j))) = максимум (1/сумма(a(i,j)x(i)x(j))).
Я согласна, что максимум справа и минимум слева в данном случае достигаются при одних и тех же значениях х, но тем не менее я не уверена, что там можно поставить знак равно. по-моему это нетривиальный момент. Мой вопорос собственно: почему они равны?
Надеюсь мои обозначения вполне понятны, если нет - обязательно напишите, я напишу более подробно. Заранее спасибо.
ОТВЕТ
Конечно же, они не равны, более того:
$\min(\sum{a_{i,j}x_ix_j}) = 1/\max(1/\sum{a_{i,j}x_ix_j})$ .
Это прямое следствие теоремы Вейерштрасса (I курс).
Просто $\min(\sum{a_{i,j}x_ix_j})$ при условии, что все $x_i\ge 0$ и $\sum{x_i}=1$, очевидно, должен быть нецелым числом, в то время как $\max(1/\sum{a_{i,j}x_ix_j})$ (что вы должны выяснить) - всегда целое. А с целыми проще иметь дело, чем с дробями.
Теперь, насчет возможных подходов к решению. Очевидно, что при тех же условиях на ПЧ и без всяких условий на ЛЧ
$\min{\sum{a_{i,j}x_ix_j}} = \min{\sum{a_{i,j}{x_i}^2{x_j}^2}/\sum{{x_i}^2{x_j}^2}}$
(причем это справедливо и для \max в ЛЧ и ПЧ).
После чего можно решать задачи нахождения минимума и максимума ф-ции (ПЧ) нескольких переменных просто втупую (I курс): первые производные д.б. = 0, затем подсчитать вторые и смотреть, какими должны быть переменные в точках экстремумов, чтобы соответствующая этим вторым производным квадратичная форма была положительно и, соотв., отрицательно определенной. Это первый путь (абсолютно классический тупой путь).
Можно также, избавившись от условий $x_i\ge 0$ (используя ${x_i}^2$), но не от (классического!!!) $\sum{x_i}=1$, и вспомнив, как вы на I (или на II?) курсе решали задачи на нахождение условных экстремумов, использовать метод множителей Лагранжа. Это второй (тоже вполне классический способ решения).
Но можно посмотреть на дробь ПЧ повнимательней (и для min может быть стоит ее обратить, чтобы не возиться с нецелыми числами) и понять, что максимум (=1) достигается когда числитель равен знаменателю и после этого просто перечислить все возможные сочетания $x_i$ для которых это так (какими в этих сочетаниях должны быть $a_{i,j}$?).
Аналогично с минимумом (то бишь с $\max{\sum{{x_i}^2{x_j}^2}/\sum{a_{i,j}{x_i}^2{x_j}^2}}$). Только здесь надо еще учесть, что для прямоугольника с заданным полупериметром наименьшая диагональ - у квадрата.
Успехов.
______________________________________________________________________
С уважением,
Mikhail P. Vetchinin
ЕСЛИ КТО-ТО ПОНЯЛ ХОТЬ ЧТО-ТО - РАСШИФРУЙТЕо семьеОчень рада за оного одногруппника... от всей души... уж не знаю как он... может еще не понял, как все это здорово и как жить с этим, но я надеюсь, что если еще не понял, то скоро поймет. ведь это наверно самое большое счастье. хотя бы женское. во общем счастья!!о террактахМысль материальна, давайте думать о хорошем. Ну а лишняя бдительность - это не так плохо. Давайте направлять все в хорошее русло. И каждый день жить как последний. Хм... не очень оптимистично, да? Ну это я себя успокаиваю. Слишком много об этом думаю. Но это с каждым днем проходит. Русская натура?о весневесной пахнет. ВЕСНА!!!! Ручейки и солнышко! Птички за окном и легкий плащ! Прогулки и мечты о лете! ВЕСНА!!!! цветов хочу Грех жаловаться... УЛЫБАЮСЬ!!!
-
-
01.04.2010 в 21:41-
-
02.04.2010 в 01:34-
-
02.04.2010 в 08:35-
-
02.04.2010 в 15:40Так легче?
-
-
03.04.2010 в 12:02